微分方程式第1回―微分方程式の定義についてと初期値問題のおさらい

さて、簡単に言ってしまえば、微分方程式を解くのは高校数学よりもずっと簡単だ(無論、専門的なことや論文執筆にあたっては高度な論理が必要になる)。ただ、標準的な大学での学部の単位を取りたいのであれば、この問題はそれほど難しい問題ではない。それは微分方程式の形によって異なる解法を適用すれば実際のところ、頭のいい小学生でも理解できるだろう。しかもそのための定理は標準的だ。では微分方程式とは何だろうか?本題に入る前に今回は…

という微分方程式の解が…

であることを示す過程で微分のおさらいを兼ねてやってみよう。

さて、微分方程式とは導関数と未知の関数を含む(その関係性を持ちうる)関数方程式のことを言う。では方程式とは何だろうか?方程式とは実はイコールを使った式のことである。実はこの問題は高校数学どころか中学数学の冒頭にもあって、しっかりと定義されている。微分方程式には常微分と偏微分を用いた数式があるが、さらに複雑化すればもっともっと高度なものになってくれる。その時にはすでに読者の考える微分方程式はより高度になっており、それを研究しようとする段階に入っているだろうが、ここではそのはしりとして「初期値問題」を取り扱う。

のときこの方程式の微分系を考える。xの係数を前に持ってくればいいだけなので…

である。ではこのときに以下の微分方程式を考えよう。当然のことながらyおよびy’の上式が代入され…

となる。すなわちこの微分方程式の解は…

となっていることがわかる。この問題は初期値問題としてよく知られている。厳密にいえばまたこれとは違った深淵な数式と関係性が導けるが、初期値問題とは簡単に言ってしまえば、限定的な微分方程式にからむその解のおおまかなものを捉える方法論のうちのひとつというだけのことである。それは問題文を見ればよくわかる通りであるが、微分方程式の解法に向かう前にこの問題はおさらいとして使える。そこから微分方程式への理解もまた深まるだろう。

石村「すぐわかる微分方程式」P8より問題引用

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA