微分方程式第3回―微分方程式「変数分離形」

これは関数が関与しているため、直接積分形のように簡単には解けない。こういった形、直接積分形よりもちょっと工夫が必要な微分方程式を「変数分離形」と呼ぶ。まず、y=0のとき解となり得るかを調べる。これは関数が関与しているため(yを両辺で割って簡単にしたいが、このときのyの値を調べる必要性が直接積分形のときとの違いでもある)である。両辺に代入すると…

0=0(y=0のとき)

となるので解となっている。では一般解を求める。

両辺をyで割り…

xで積分すると…

dxが左辺で打ち消され、右辺でyが打ち消されるので、ここからは直接積分形と同じである。

となるが、logの性質を考えながら、これを取り除くとeを使用した方程式に置き換わる。

となるが、絶対値を考慮すると…

ここでC’をさらに置き換えて考えるともっともっと一般的なきれいな解が見受けられるようになる。C’を適当な値にCとして任意定数の置き換えを行おう。無論、y=0のとき、C=0という解も含む。

なお問題は同石村p19から拝借・引用した。

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