微分方程式第4回―微分方程式「完全形」

完全形の微分方程式を解く。これは左辺が全微分可能な時と適用させるものといっていいが、簡単にいえば二変量が全微分可能なように左辺に配置されていればいい。x・yの二変量に対するzとなるような曲面を考えられ、このときのこの曲面の平面を定義するベクトルx・yのときに関与する関数Fの微小要素dFが曲面zの最高位の高さ(立体を定義するベクトル)を表すようなものになれるとき、この方程式を完全形で解ける完全微分形であるという。

となるようなPとQという関数を考えるとき、

とならなければ完全微分方程式は解けない。この場合偏微分を考えるとこれを満たすのでこの形の解法で解け、一般解を導けるのがわかる。これが完全形のポイントである。

P=Qをみたす任意関数uについて考えると…(偏微分の方法論によって、uのxに関する微分がPと等しく、さらに、uがyに関する微分がQと等しいと考えるときこのuについて考える)

となることが考えられる。このとき…

と提起できるから…

を一般解として導けた。小生の勉強ノートの過去問より拝借。

marikoi

ここの主筆・共同管理人。ぶっちゃけ狂人。

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