単位が取れる線形代数学第1回―線形代数学の計算と幾何学的性質

今、ベクトルの性質を持つ線形代数aおよびbがある。

   

のふたつが三次元上のベクトルを表している(なお教科書にはベクトル性質を考える線形代数のことを上部に→をつけたり、aであればそこに二重記号でもってして、ベクトル性質を表すことが多い)。幾何的な性質があるベクトルである。まず、内積の定義を覚えよう。また、ベクトルaの絶対値をとった値がこのような数式で表される。

(a,b)=1・(-1)+(-2)・1+2・1=-2 これをベクトルの内積もしくはスカラー積と呼ぶ。
1^2+(-2)^2+2^2のルートをとったものが、|a|というベクトルの長さを表す。すなわち|a|=3
(-2)^2+1^2+1^2のルートをとったものが、同じく|b|とというベクトルの長さを表す。|b|=√6
このとき、ベクトルaとベクトルbとのなす角をΘとしたときに、次のような数式が成立する。

(a,b)=|a| |b| cosΘ
この式よりcosΘは…
cosΘ={|a| |b|} / (a,b) と表されるので…
⇒ cosΘは|a| と|b|を掛け合わせたものをaおよびbの内積で割ったものと同等であり、この例ではcosΘはこのような計算になる。
cosΘ=-2/3√6

これが基礎である。また、外積という定義も重要だ。これは絶対値をとると、ベクトルaおよびbからなされる相対的な平行四辺形の面積と同等である。a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)の三個の要素を持つ線形代数において、外積はこのように定義される。

複雑だが、覚えよう。この例をとってみると次の値をとるので各自計算してほしい。

a×b=(-4,-5,-3)このとき…
|a×b|=|a| |b| sinΘ が成立する。
これがベクトルaとbによるΘをなす角との関係性におけるかたどられる平行四辺形の面積と同等なのだ。

また外積に内積を組み合わせたものとして、三重積というものもある。参考程度に覚えてもいてもらいたいが、三重積の絶対値をとったものがa,b,cで張られる平行六面体の体積と同じである。ここで定義、

a,b,cの三重積 (a×b,c)

証明も重要だし、試験ではそれが求められることも多いだろう。だが、各自が計算するべき時には暗記する以外にない。計算のときペーパーテストの時、数式の順番をいちいち確認する時間はない。頑張って全部暗記しよう。

marikoi

ここの主筆・共同管理人。ぶっちゃけ狂人。

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