微分方程式番外編:世界で一番やさしく一番難しい数学の基礎問題

微分方程式の話に移る前に本来はここから解説するべきだった。

問題一 方程式とは何かということを説明せよ。
問題ニ 次の方程式をxについて解け。xy-a=0

この問題、一見簡単に見えるが厳密に解いてほしい。

方程式とは実はイコールを使った式のことである。だから問一の回答、イコールを使った式のこと。英語を翻訳して方程式になっているけど、これは英語で表せば言語はequationである、イコールの派生語である。これは実は高校生の数Ⅰの冒頭にたぶん書いてある。これは実は驚くべき翻訳…。

さて、では問二、実はこれは深い。これができて算数じゃなくなるっていったな。つまり数学にするためにはこれを深く解けなければならない。で例によってウルフラムアルファにといてもらった(https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+xy-a%3D0)が、これはこれで正解。でもちょっと待てよ、ってもんだな。この答案では半点だ。

ウルフラムアルファの回答は….

    a
x= --- and y≠0
    y

あれ?ちょっと待てよ。ていうのはなぜか?それは数学における不定と不能の定義の問題があるからだ。さてあなたがyが0じゃない場合この方程式の解は成り立つ、と考えるだろう。だがちょっと待ってほしい。要するに数学における不定とは値が定まらないこと(無数の解がある)である。不能とは値がない(とれない)ことだ。

ここまで言えばわかるだろうが、この方程式をxについてとくと、aについても分別せねばならない。y=0のとき、不定と不能の定義を持ち込まねばならん。y=0かつa=0のとき、この方程式の解は不定(値が定まらない=無数の解があること)になる。y=0かつa≠0のとき値は不能(適当な値がない=とれない、存在しない)ということになる。要するにxについて解けば三つのパターン分けが必要なのだ。単純にy=0のとき解がなし、y≠0のとき解があると判断してはいけないのだ。二パターンの分けかたでは厳密な数学では間違いなのだ。

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